题目描述
求 x 的算术平方根，只保留整数部分(向下取整)。
x = 8
输出 = 2 （2²=4≤8，3²=9>8）
思路解析
k 越大 k² 越大，单调的。在 [0, x] 里二分 k：k² ≤ x 说明还能更大（记录答案，l 右移）；k² > x 说明太大（r 左移）。
区间 [0,8] · mid=4：候选答案排成 0~8，mid=4：4²=16 > 8，太大，r 收到 3。
mid=1：区间 [0,3]，mid=1：1²=1 ≤ 8，可行！记下 ans=1，试更大的，l=2。
mid=2：区间 [2,3]，mid=2：2²=4 ≤ 8，更新 ans=2，继续试更大，l=3。
mid=3：区间 [3,3]，mid=3：3²=9 > 8，太大，r=2。此时 l>r，循环结束。
答案 = ans = 2：最后记录的可行答案 ans = 2，就是 √8 的整数部分。
不必在数组里二分——只要「答案越大越满足/越不满足」，就能直接在答案范围里二分。爱吃香蕉、分割数组都是它。
参考代码（Python）
Python
1l, r, ans = 0, x, 0
2while l <= r:
3 mid = (l + r) // 2
4 if mid * mid <= x: # 可行，试更大
5 ans = mid; l = mid + 1
6 else: r = mid - 1 # 太大，缩小
7return ans复杂度分析
- 时间复杂度：O(log x) —— 每次砍一半
- 空间复杂度：O(1) —— 几个变量
套路模板
记住骨架：可行就记录 ans 并往大走、不可行往小走。求「最小可行」就反过来：可行往小走。
Python
1# 找「最大的满足 check 的值」
2l, r, ans = 最小, 最大, 默认
3while l <= r:
4 mid = (l + r) // 2
5 if check(mid): ans = mid; l = mid + 1 # 可行→记录并求更大
6 else: r = mid - 1
7return ans易错点
- ❌ mid*mid 溢出(其它语言) → ✅ Python 无忧；C++ 用 long 或比较 mid<=x/mid（大数相乘会溢出 int）
- ❌ 没记录 ans 直接返回 l/r → ✅ 可行时显式 ans=mid（边界返回容易差一，记录最稳）
以上文字与上方动画完全同一思路：先看动画建立直觉 → 读文字巩固 → 关掉页面自己默写一遍代码，能写出来才算真的掌握。