279. 完全平方数

题目描述

用最少数量的完全平方数凑出 n。

思路解析

关键不是背模板，而是看懂为什么这题适合完全背包 DP。

1. dp[0]=0，其它先设为无穷：dp[0]=0，其它先设为无穷

2. 平方数列表是 1,4,9：平方数列表是 1,4,9

3. 用 1 可以凑出所有数，但数量多：用 1 可以凑出所有数，但数量多

4. 用 4 更新 dp[4]=1：用 4 更新 dp[4]=1

5. dp[8] 可以由 dp[4]+1 得到 2：dp[8] 可以由 dp[4]+1 得到 2

6. 用 9 更新 dp[9]=1：用 9 更新 dp[9]=1

7. dp[12] 可以由 dp[8]+1 得到 3：dp[12] 可以由 dp[8]+1 得到 3

8. 答案 dp[12]=3：答案 dp[12]=3

把这句话记住，下次遇到同类题，就能更快选出方向。

用一个小问题检查自己是不是真的懂了。

参考代码（Python）

1class Solution:
2    def numSquares(self, n):
3        dp = [0] + [10**9] * n
4        squares = [i*i for i in range(1, int(n**0.5) + 1)]
5        for sq in squares:
6            for x in range(sq, n + 1):
7                dp[x] = min(dp[x], dp[x - sq] + 1)
8        return dp[n]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n√n) —— 每个核心状态按算法要求处理固定次数
• 空间复杂度：O(n) —— 只保存必要的辅助结构或递归栈

套路模板

模板不是死背，而是提醒你写代码前先把状态、转移和边界排好。

1# 完全背包 DP 通用检查表
2# 1. 定义状态/指针/容器
3# 2. 每轮只做一个清晰动作
4# 3. 更新答案并处理边界

易错点

• 错误写法：把每个平方数只能用一次 → 正确写法：完全平方数可以重复用，是完全背包（12=4+4+4 就重复用了 4）
• 错误写法：只按样例推代码 → 正确写法：先写清状态含义和边界条件（样例太少，隐藏用例专打边界）
• 错误写法：变量名和动画不一致 → 正确写法：代码变量沿用动画里的核心名字（学习时最怕脑内维护两套概念）

以上文字与上方动画完全同一思路：先看动画建立直觉 → 读文字巩固 → 关掉页面自己默写一遍代码，能写出来才算真的掌握。